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BOTELLA DE KLEIN
Klein' s bottle, Kleinsche Flasche
vínculo hacia una figura manipulable al ratón

Superficie estudiada por Klein en 1882. El nombre "botella" procedería de un juego de palabras en alemán entre "klein Fläche" (superficie de Klein) y "klein Flasche" (botella de Klein). Félix Klein (1849-1925): matemático alemán. Otros nombres: superficie de Klein, toro de Klein, toro no orientable.

Parametrización sin punto singular en R4: Parametrización que da la forma clásica en R3 (pues con autointersección): Primera parte: Segunda parte: , dónde , con tiene = 3, b = 4, c = 2. Parametrización con una mitad cúpula de Bohemia y una mitad -toro: luego . Rotación de uno ocho con revocación:. Ecuación cartesiana polinomial de Ian Stewart: .

Se designa por botella de Klein , tenida en cuenta K, cualquier espacio topológico obtenido identificando en un cuadrado los lados opuestos con inversión del sentido para uno de los pares. Eso vuelve de nuevo pues a identificar en una cinta cerrada sin torsión los dos bordes, con inversión del sentido.

Se cosen 2 lados opuestos en el mismo sentido: se obtiene una cinta simple (o un cilindro truncado) | Se cosen 2 lados opuestos en el sentido contrario: se obtiene una cinta de Möbius. | Se cosen los lados opuestos entre ellos en el mismo sentido: se obtiene un toro. | Se cosen los lados opuestos, un par en el mismo sentido, otro en sentido contrario: se obtiene una botella de Klein. | Se cosen los lados opuestos en sentidos contrarios: se obtiene un plan descriptivo.

Se obtiene pues también una botella de Klein cosiendo dos cintas de Möbius borde a bordo.

Una media botella de Klein es una cinta de Möbius.

La botella de Klein es pues también la suma conexa de dos planes descriptivos reales.

Esto es una superficie unilateral (a una única cara), por lo tanto no orientable, de clase 2, de característica de Euler-Poincaré nula, y de número cromático igual a 6 como el toro (y no 7 como lo querría la fórmula de Heawood):

En esta tarjeta a 6 países trazada sobre la botella de Klein, cada país afecta 5 otros; 6 son el máximo posible, y toda tarjeta podrá colorearse con 6
colores a lo sumo.

No puede hundirse en R3, sino solamente sumergirse con autointersección.

Si la representación clásica se asemeja bien a una botella (en la cual se evitará poner líquido!),

cualquier superficie generada por el movimiento de un círculo (de rayo variable o no) que vuelve de nuevo sobre sí mismo después de rotación de un giro de 180 grados es una representación de la botella de Klein.

Se puede por ejemplo clavar una mitad toro con una mitad cúpula de Bohemia (mencionar primera figura anteriormente), o considerar esta botella de Klein poliédrico:

Puede hacer volver a uno ocho con un giro de 180 grados:
Media botella de Klein generado por uno ocho (superficie completa en cumbre a la derecha)

Esta representación permite ver bien cómo la botella de Klein se obtiene cosiendo borde a bordo dos cintas de Möbius.

+ | = |

Y la botella de Klein que es la suma conexa de dos planes descriptivos, se obtiene otra representación juntando dos gorros cruzados abiertos:

¡Esto es también una botella de Klein!

En R4, puede por el contrario efectuar el movimiento de un círculo con revocación sin que la superficie obtenida presente autointersección (véase la parametrización en caja aquí arriba).

La botella de Klein taladrada (caracterizada el hecho de ser una superficie unilateral a un bordo de clase 2) puede ser representado por el calzoncillos de Möbius (Möbius shorts en inglés): se lo obtiene conectando una cinta cerrada no torcida por una banda como abajo:

¡Este calzoncillos imposible a hincharse es una botella de Klein taladrada a un bordo! |

La botella de Klein permite a los infographistes mostrar su talento:

VÍNCULOS:
www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html
www.math.uiuc.edu/~jms/Images/klein.html
www.uib.no/people/nfytn/kleintxt.htm
derschockwellenreiter.editthispage.com/math/banchoff_klein.html
www.sff.net./people/asaro/klein.html
www-math.science.unitn.it/~baldo/MeshSmith/Usage.html

¡para comprar botellas de Klein en vidrio e incluso un gorro de Klein! : www.kleinbottle.com

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000